Призма называется параллелепипедом , если её основания - параллелограммы. См.Рис.1 .
Свойства параллелепипеда:
Противоположные грани параллелепипеда параллельны (т.е. лежат в параллельных плоскостях) и равны.
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Смежные грани параллелепипеда – две грани, имеющие общее ребро.
Противоположные грани параллелепипеда – грани, не имеющих общих рёбер.
Противоположные вершины параллелепипеда – две вершины, не принадлежащие одной грани.
Диагональ параллелепипеда – отрезок, который соединяет противоположные вершины.
Если боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, то параллелепипед называется прямым .
Прямой параллелепипед, основания которого – прямоугольники, называется прямоугольным . Призма, все грани которой - квадраты, называется кубом .
Параллелепипед – призма, у которой основаниями служат параллелограммы.
Прямой параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.
Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники.
Куб – прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
Параллелепипедом называется призма, основание которой – параллелограмм; таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они - параллелограммы.
Противоположные грани попарно равны и параллельны. Параллелепипед имеет четыре диагонали; все они пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. За основание может быть принята любая грань; объем равен произведению площади основания на высоту: V = Sh.
Параллелепипед, четыре боковые грани которого - прямоугольники, называется прямым.
Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней - прямоугольники, называется прямоугольным. См.Рис.2 .
Объем (V) прямого параллелепипеда равен произведению площади основания (S) на высоту (h): V = Sh .
Для прямоугольного параллелепипеда, кроме того, имеет место формула V=abc , где a,b,c - ребра.
Диагональ (d) прямоугольного параллелепипеда связана с его ребрами соотношением d 2 = а 2 + b 2 + c 2 .
Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а основания прямоугольниками.
Свойства прямоугольного параллелепипеда:
В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.
Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длин трёх рёбер, имеющих общую вершину).
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Прямоугольный параллелепипед, все грани которого - квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны; объем (V) куба выражается формулой V=a 3 , где a - ребро куба.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
МНОГОГРАННИКИ
1. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И ПИРАМИДА
Свойства граней и диагоналей параллелепипеда
72. Теорема. В параллелепипеде:
1) противоположные грани равны и параллельны;
2) все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
1) Грани (черт. 80) ВВ 1 С 1 С и AA 1 D 1 D параллельны, потому что две пересекающиеся прямые ВВ 1 и В 1 С 1 одной грани параллельны двум пересекающимся прямым АА 1 и A 1 D 1 другой (§ 15); эти грани и равны, так как В 1 С 1 = A 1 D 1 , В 1 В= А 1 А (как противоположные стороны параллелограммов) и / ВВ 1 С 1 = / АA 1 D 1 .
2) Возьмём (черт. 81) какие-нибудь две диагонали, например АС 1 и ВD 1 , и проведём вспомогательные прямые АD 1 и ВС 1 .
Так как рёбра АВ и D 1 С 1 соответственно равны и параллельны ребру DС, то они равны и параллельны между собой; вследствие этого фигура АD 1 С 1 В есть параллелограмм, в котором прямые С 1 А и ВD 1 -диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам.
Возьмём теперь одну из этих диагоналей, например АС 1 , с третьей диагональю, положим, с В 1 D. Совершенно так же мы можем доказать, что они делятся в точке пересечения пополам. Следовательно, диагонали B 1 D и АС 1 и диагонали АС 1 и BD 1 (которые мы раньше брали) пересекаются в одной и той же точке, именно в середине диагонали
АС 1 . Наконец, взяв эту же диагональ АС 1 с четвёртой диагональю А 1 С, мы также докажем, что они делятся пополам. Значит, точка пересечения и этой пары диагоналей лежит в середине диагонали АС 1 . Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной и той же точке и делятся этой точкой пополам.
73. Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали (АС 1 , черт. 82) равен сумме квадратов трёх его измерений .
Проведя диагональ основания АС, получим треугольники АС 1 С и АСВ. Оба они прямоугольные: первый потому, что параллелепипед прямой и, следовательно, ребро СС 1 перпендикулярно к основанию; второй потому, что параллелепипед прямоугольный и, значит, в основании его лежит прямоугольник. Из этих треугольников находим:
АС 1 2 = АС 2 + СС 1 2 и АС 2 = АВ 2 + ВС 2
Следовательно,
AC 1 2 = АВ 2 + ВС 2 + СС 1 2 = АВ 2 + AD 2 + АА 1 2 .
Следствие. В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.
В геометрии различают такие виды параллелепипедов: прямоугольный параллелепипед (гранями параллелепипеда выступают прямоугольники); прямой параллелепипед (его боковые грани выступают в роли прямоугольников); наклонный параллелепипед (его боковые грани выступают в роли перпендикуляров); куб параллелепипед с абсолютно одинаковыми измерениями, а грани куба - это квадраты. Параллелепипеды могут быть как наклонными, так и прямыми.
Основные элементы параллелепипеда — это то, что две грани представленной геометрической фигуры, которые не имеют общее ребро, являются противоположными, а те которые имеют — смежными. Вершины параллелепипеда, которые не относятся к одной грани, выступают противоположными относительно друг к другу. Параллелепипед имеет измерение — это три ребра, которые имеют общую вершину.
Отрезок, который соединяет противоположные вершины, называется диагональю. Четыре диагонали параллелепипеда, пересекаясь в одной точке, одновременно делятся пополам.
Для того чтобы определить диагональ параллелепипеда, нужно определить стороны и ребра, которые известны по условию задачи. При известных трех ребрах А , В , С проведите в параллелепипеде диагональ. Согласно свойству параллелепипеда, которое говорит о том, что все углы его прямые, определяется диагональ. Построить диагональ от одной из граней параллелепипеда. Диагонали нужно проводить таким образом, чтобы диагональ грани, искомая диагональ параллелепипеда и известное ребро, создавали треугольник. После того как образуется треугольник, найдите длину данной диагонали. Диагональ в другом полученном треугольнике выступает в роли гипотенузы, поэтому ее можно найти по теореме Пифагора, которую необходимо взять под корень квадратный. Таким образом, мы узнаем значение второй диагонали. Для того чтобы найти первую диагональ параллелепипеда в образованном прямоугольном треугольнике, также необходимо отыскать неизвестную гипотенузу (за теоремой Пифагора). По такому же примеру последовательно найдите остальные три существующие в параллелепипеде диагонали, выполнив дополнительные построения диагоналей, которые образуют прямоугольные треугольники и решите по теореме Пифагора.
Прямоугольным параллелепипедом (ПП) является ни что иное, как призма, основанием у которой прямоугольник. У ПП все диагонали равны, значит любая его диагональ рассчитывается по формуле:
а, в — стороны основания ПП;
с — его высота.
Можно дать и другое определение, рассматривая декартову прямоугольную систему координат:
Диагональ ПП это радиус-вектор любой точки пространства, заданной координатами x, y и z в декартовой системе координат. Этот радиус вектор к точке проводится из начала координат. А координатами точки будут проекции радиус-вектора (диагонали ПП) на координатные оси.
Если дословно перевести его название с древнегреческого, то получится, что это фигура, состоящая из параллельных плоскостей. Существуют такие равносильные определения параллелепипеда:
Его виды выделяются в зависимости от того, какая фигура лежит в его основании и как направлены боковые ребра. В общем случае говорят о наклонном параллелепипеде , у которого основание и все грани — параллелограммы. Если у предыдущего вида боковые грани станут прямоугольниками, то его нужно будет называть уже прямым . А у прямоугольного и основание тоже имеет углы по 90º.
Причем последний в геометрии стараются изображать так, чтобы было заметно, что все ребра параллельны. Здесь, кстати, наблюдается основное отличие математиков от художников. Последним важно передать тело с соблюдением закона перспективы. И в этом случае параллельность ребер совсем незаметна.
В приведенных ниже формулах справедливы обозначения, указанные в таблице.
Первая и вторая для площадей:
Третья для того, чтобы вычислить объем параллелепипеда:
Так как основание — параллелограмм, то для расчета его площади нужно будет воспользоваться соответствующими выражениями.
Аналогично первому пункту — две формулы для площадей:
И еще одна для объема:
Условие. Дан прямоугольный параллелепипед, объем которого требуется найти. Известна диагональ — 18 см — и то, что она образует углы в 30 и 45 градусов с плоскостью боковой грани и боковым ребром соответственно.
Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, потребуется узнать все стороны в трех прямоугольных треугольниках. Они дадут необходимые значения ребер, по которым нужно сосчитать объем.
Сначала нужно выяснить, где находится угол в 30º. Для этого нужно провести диагональ боковой грани из той же вершины, откуда чертилась главная диагональ параллелограмма. Угол между ними и будет тем, что нужен.
Первый треугольник, который даст одно из значений сторон основания, будет следующим. В нем содержатся искомая сторона и две проведенные диагонали. Он прямоугольный. Теперь потребуется воспользоваться отношением противолежащего катета (стороны основания) и гипотенузы (диагонали). Оно равно синусу 30º. То есть неизвестная сторона основания будет определяться как диагональ, умноженная на синус 30º или ½. Пусть она будет обозначена буквой «а».
Вторым будет треугольник, содержащий известную диагональ и ребро, с которым она образует 45º. Он тоже прямоугольный, и можно опять воспользоваться отношением катета к гипотенузе. Другими словами, бокового ребра к диагонали. Оно равно косинусу 45º. То есть «с» вычисляется как произведение диагонали на косинус 45º.
с = 18 * 1/√2 = 9 √2 (см).
В этом же треугольнике требуется найти другой катет. Это необходимо для того, чтобы потом сосчитать третью неизвестную — «в». Пусть она будет обозначена буквой «х». Ее легко вычислить по теореме Пифагора:
х = √(18 2 — (9√2) 2) = 9√2 (см).
Теперь нужно рассмотреть еще один прямоугольный треугольник. Он содержит уже известные стороны «с», «х» и ту, что нужно сосчитать, «в»:
в = √((9√2) 2 — 9 2 = 9 (см).
Все три величины известны. Можно воспользоваться формулой для объема и сосчитать его:
V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (см 3).
Ответ: объем параллелепипеда равен 729√2 см 3 .
Условие. Требуется найти объем параллелепипеда. В нем известны стороны параллелограмма, который лежит в основании, 3 и 6 см, а также его острый угол — 45º. Боковое ребро имеет наклон к основанию в 30º и равно 4 см.
Решение. Для ответа на вопрос задачи нужно взять формулу, которая была записана для объема наклонного параллелепипеда. Но в ней неизвестны обе величины.
Площадь основания, то есть параллелограмма, будет определена по формуле, в которой нужно перемножить известные стороны и синус острого угла между ними.
S о = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (см 2).
Вторая неизвестная величина — это высота. Ее можно провести из любой из четырех вершин над основанием. Ее найти можно из прямоугольного треугольника, в котором высота является катетом, а боковое ребро — гипотенузой. При этом угол в 30º лежит напротив неизвестной высоты. Значит, можно воспользоваться отношением катета к гипотенузе.
н = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.
Теперь все значения известны и можно вычислить объем:
V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (см 3).
Ответ: объем равен 18 √2 см 3 .
Условие. Найти объем параллелепипеда, если известно, что он прямой. Стороны его основания образуют параллелограмм и равны 2 и 3 см. Острый угол между ними 60º. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания.
Решение. Для того чтобы узнать объем параллелепипеда, воспользуемся формулой с площадью основания и высотой. Обе величины неизвестны, но их несложно вычислить. Первая из них высота.
Поскольку меньшая диагональ параллелепипеда совпадает по размеру с большей основания, то их можно обозначить одной буквой d. Больший угол параллелограмма равен 120º, поскольку с острым он образует 180º. Пусть вторая диагональ основания будет обозначена буквой «х». Теперь для двух диагоналей основания можно записать теоремы косинусов:
d 2 = а 2 + в 2 — 2ав cos 120º,
х 2 = а 2 + в 2 — 2ав cos 60º.
Находить значения без квадратов не имеет смысла, так как потом они будут снова возведены во вторую степень. После подстановки данных получается:
d 2 = 2 2 + 3 2 — 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,
х 2 = а 2 + в 2 — 2ав cos 60º = 4 + 9 — 12 * ½ = 7.
Теперь высота, она же боковое ребро параллелепипеда, окажется катетом в треугольнике. Гипотенузой будет известная диагональ тела, а вторым катетом — «х». Можно записать Теорему Пифагора:
н 2 = d 2 — х 2 = 19 — 7 = 12.
Отсюда: н = √12 = 2√3 (см).
Теперь вторая неизвестная величина — площадь основания. Ее можно сосчитать по формуле, упомянутой во второй задаче.
S о = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (см 2).
Объединив все в формулу объема, получаем:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (см 3).
Ответ: V = 18 см 3 .
Условие. Требуется узнать объем параллелепипеда, отвечающего таким условиям: основание — квадрат со стороной 5 см; боковые грани являются ромбами; одна из вершин, находящихся над основанием, равноудалена от всех вершин, лежащих в основании.
Решение. Сначала нужно разобраться с условием. С первым пунктом про квадрат вопросов нет. Второй, про ромбы, дает понять, что параллелепипед наклонный. Причем все его ребра равны 5 см, поскольку стороны у ромба одинаковые. А из третьего становится ясно, что три диагонали, проведенные из нее, равны. Это две, которые лежат на боковых гранях, а последняя внутри параллелепипеда. И эти диагонали равны ребру, то есть тоже имеют длину 5 см.
Для определения объема будет нужна формула, записанная для наклонного параллелепипеда. В ней опять нет известных величин. Однако площадь основания вычислить легко, потому что это квадрат.
S о = 5 2 = 25 (см 2).
Немного сложнее обстоит дело с высотой. Она будет таковой в трех фигурах: параллелепипеде, четырехугольной пирамиде и равнобедренном треугольнике. Последним обстоятельством и нужно воспользоваться.
Поскольку она высота, то является катетом в прямоугольном треугольнике. Гипотенузой в нем будет известное ребро, а второй катет равен половине диагонали квадрата (высота — она же и медиана). А диагональ основания найти просто:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (см).
н = √ (5 2 — (5/2 * √2) 2) = √(25 — 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (см).
V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (см 3).
Ответ: 62,5 √2 (см 3).
Поскольку все грани параллелепипеда – параллелограммы, то прямая AD параллельна прямой ВС, а прямая параллельна прямой . Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.
Из того, что грани параллелепипеда – параллелограммы, следует, что АВ, , CD и параллельны и равны. Отсюда сделаем вывод, что грань совмещается параллельным переносом вдоль ребра АВ с гранью . Следовательно, эти грани равны.
2 ) Возьмем две диагонали параллелепипеда (рис. 5), например, и , и проведем дополнительные прямые и . АВ и соответственно равны и параллельны ребру DC, поэтому они равны и параллельны между собою; вследствии этого фигура есть параллелограмм, в котором прямые и – диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам. Аналогично мы можем доказать, что две другие диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Точка пересечения каждой пары диагоналей лежит в середине диагонали . Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам. Таким образом, точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.
Теорема:
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Доказательство:
Это выплывает из пространственной теоремы Пифагора. Если – диагональ прямоугольного параллелепипеда 
, то – ее проекции на три попарно перпендикулярные прямые (рис. 6). Следовательно, .
